新智元报谈

剪辑：Aeneas

【新智元导读】对于60年的几何学贫穷周期性密铺问题，陶哲轩最近又有新冲破了。

陶哲轩一直在接洽的周期性密铺问题，又有新冲破了。

9月18日，陶哲轩和Rachel Greenfeld将预印本论文《平移单密铺的不可判定性 (Undecidability of translational monotilings)》上传到了arXiv。

这篇论文的主要论断是，如若网格的维数是无界的，那么笃定网格的有限子集是否不错平铺该网格的周期子集的问题，即是不可判定的。

要知谈，此问题在维度1和维度2中是可判定的。

陶哲轩线路，有点奇怪的是，文中所评释的大大量组件齐跟流行的游戏近似——

多米诺骨牌的密铺近似物，数独，电脑游戏「俄罗斯方块」，甚而连儿童游戏「Fizz buzz」齐出现了。

为什么接洽一个数知识题，会触及到这样多游戏呢？陶哲轩也无法解释。

平移单密铺的不可判定性

此次的论文，是两东谈主上一篇论文的续集。聚会 周期性密铺问题

在上篇论文中，他们构建了一个高维网格的平移单密铺

（因此单密铺是一个有限蚁集 ），它口舌周期性的（莫得目标将这个密铺「诞生」成周期性密铺，其中目下相对于有限索绪论群是周期性的)。

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这就反驳了Stein、Grunbaum-Shephard和Lagarias-Wang的周期性密铺臆想，他们断言这种非周期性密铺单体不存在。

（「帽子单密铺」是一种最近发现的非周期等距单密铺，在这种单密铺中，不错允许使用旋转、反射以及平移，能够更新的「阴灵单片」。上述单片与帽子单密铺雷同，除了不需要反射）。

激勉陶哲轩和Rachel Greenfeld这个臆想的原因之一，是数学家Hao Wang的不雅察。

他发现，如若周期密铺臆想为真，那么平移密铺问题在算法上是可判定的——

有一个图灵机，对于，当给定一个维度和一个有限子集时，不错在有限的时天职笃定是否不错密铺。

这是因为如若存在周期性密铺，就不错通过预备机搜索找到它。

如若根底不存在密铺，那么通过紧致性定理可知，存在一些有限的子集，这些子集不可被不相交的平移所隐敝，这也不错通过预备机搜索来发现。

周期性密铺臆想断言这是仅有的两种可能的情况，从而给出了可判定性。

另一方面，Wang的论点是不可逆的：周期性密铺臆想的失败，并不自动意味着平移单密铺问题的不可判定性，因为它不废除存在一些其他算法来笃定密铺，这种密铺不错不依赖于周期性密铺的存在。

西安日报讯（记者 王涛）9月14日上午，2023年陕西省西安市离校未就业高校毕业生专场招聘会在西安市人才市场举行，这标志着西安市金秋招聘月系列活动正式启动。

（举例，即使有新发现的帽子和阴灵密铺，对于中有理扫数的多边形的等距单密铺问题是否是可判定的，仍然是一个悬而未决的问题，不管它有莫得反射。

本文的主要恶果管理了这个问题（有一个劝诫）：

定理1

不存在职何算法，对于，给定一个维度，一个周期性子集，和一个有限子集，能在有限时天职笃定是否存在一个平移密铺。

需要介意的是，必须使用的周期性子集，而不是一齐的；这在很猛进程上是由于这种范例的期间截至，况且很可能通过突出的死力和创造力来舍弃。

另外，陶哲轩和Rachel Greenfeld还介意到，当，周期性密铺臆想是由Bhattacharya设立的，因此在这种情况下问题可判定。

对于任何的固定值，密铺问题是否可判定仍然是盛开的（介意，在上头的恶果中，维度不是固定的，而是输入的一部分）。

由于算法不可判定性和逻辑不可判定性（也称为逻辑寂寞性）之间存在家喻户晓的连系，此定理还暗意了存在一个（原则上明确可形色的）维度、的周期性子集，的有限子集，使得能通过平移密铺不可在ZFC集论断中被阐明或证伪（诚然假定这个表面是一致的）。

行为这种范例的恶果，咱们也不错在这里用「真的二维」群来代替，其中是一个有限阿贝尔群（目下成为输入的一部分，代替维度）。

接下来，形色评释的一些主要念念想。

评释某个问题不可判定的常用范例是，将已知不可判定的其他问题「编码」到原始问题中，这样，任何判定原始问题的算法也能判定镶嵌的问题。

因此，咱们将 Wang密铺问题编码为单密铺问题：

问题2（Wang密铺问题）

给定一个有限的王氏密铺蚁集（单元正方形，每条边齐从有限调色板中指定了某种姿色），是否有可能用圭臬的格通过平移来密铺平面，使得相邻的密铺在共同边际上具有相易的姿色？

Berger曾给出一个有名的恶果，即这个问题是不可判定的。

将这一问题镶嵌高维平移单密铺问题需要经由一些中间问题。

领先，咱们不错很容易地将王氏密铺问题镶嵌到一个近似的问题中，咱们称之为多米诺骨牌问题：

问题 3（多米诺骨牌问题）

给定一个水平（或垂直）的多米诺骨牌的有限蚁集或，它们是一双相邻的单元正方形，每个单元正方形齐用有限蚁集中的一个元素点来点缀，是否不错在圭臬格密铺中为每个单元正方形分拨一个点，使得这个密铺中的每一双水平（或垂直）的方格齐能用到来自或的多米诺骨牌？

事实上，咱们只需要将每个王氏密铺行为一个单独的「点」插入，并界说多米诺骨牌集，为水平或垂直相邻、边际具有相易姿色的王氏密铺对。

接下来，将多米诺骨牌问题镶嵌到数独问题中：

问题 4（数独问题）

的蚁集和「开动条目」（在这里就省略备先容了），是否不错为「数独棋盘」中的每个单元格分拨一个数字，以便对于任何斜率和截距，沿着线的数字位于中（况且遵循开动条目）？

这篇论文最新颖的部分是评释了多米诺骨牌问题如实不错镶嵌到数独问题中。

将数独问题镶嵌到单密铺问题中，源于之前论文中修改的范例。

这些论文也引入了数独问题的版块，并创造了一种「密铺言语」，可用于把多样问题（包括数独问题）「编码」为单密铺问题。

要将多米诺骨牌问题编码为数独问题，咱们需要取得一个多米诺函数

（遵循与某些多米诺骨牌集相干的多米诺骨牌管理），并使用它来构建数独函数（遵循与多米诺骨牌集相干的一些数独管理）；反过来说，每个遵循数独谜题限定的数独函数，齐必须以某种花样从多米诺函数中产生。

这种作念法并不是很了然于目，关联词在Emmanuel Jeandel的匡助下，陶哲轩和Rachel Greenfeld改编了Aanderaa和Lewis的一些概念，某些档次结构被用来将一个问题编码另一个问题。

在这里，咱们解释分层结构（由于多米诺骨牌问题的二维性，需要使用两个不同的素数）。

然后，通过公式用构建数独函数，它将体现某种镶嵌。

其中是两个不同的大素数（举例，不错取，），线路除以的次数，况且

是的张开中的终末一个非零数字：

（，且）。

在的情况下，（1） 的第一个重量如下所示：

最终重量的典型实举例下所示：

道理的是，不知为何，这里的藏匿基本上遵命了儿童游戏「Fizz buzz」的限定。

参考贵寓：

https://terrytao.wordpress.com/2023/09/18/undecidability-of-translational-monotilings/